No toda la investigación científica procura el conocimiento objetivo. Así, la lógica y la
matemática —esto es, los diversos sistemas de lógica formal y los diferentes capítulos de la
matemática pura— son racionales, sistemáticos y verificables, pero no son objetivos; no nos
dan informaciones acerca de la realidad: simplemente, no se ocupan de los hechos. La lógica
y la matemática tratan de entes ideales; estos entes, tanto los abstractos como los
interpretados, sólo existen en la mente humana. A los lógicos y matemáticos no se les da
objetos de estudio: ellos construyen sus propios objetos. Es verdad que a menudo lo hacen
por abstracción de objetos reales (naturales y sociales); más aún, el trabajo del lógico o del
matemático satisface a menudo las necesidades del naturalista, del sociólogo o del tecnólogo,
y es por esto que la sociedad los tolera y, ahora, hasta los estimula. Pero la materia prima que
emplean los lógicos y los matemáticos no es fáctica sino ideal.
Por ejemplo, el concepto de número abstracto nació, sin duda, de la coordinación (correspondencia biunívoca) de conjuntos de objetos materiales, tales como dedos, por una
parte, y guijarros, por la otra; pero no por esto aquel concepto se reduce a esta operación
manual, ni a los signos que se emplean para representarlo. Los números no existen fuera de
nuestros cerebros, y aun allí dentro existen al nivel conceptual, y no al nivel fisiológico. Los
objetos materiales son numerables siempre que sean discontinuos; pero no son números;
tampoco son números puros (abstractos) sus cualidades o relaciones. En el mundo real
encontramos 3 libros, en el mundo de la ficción construimos 3 platos voladores. ¿Pero quién
vio jamás un 3, un simple 3?.
"La utilización de los números como tal se remontan a hace más de 400.000 mil años, siempre con el uso de los dedos de las manos como origen y en los primeros pueblos primitivos. En el cultivo de la tierra y en los negocios con animales, empezó un sistema de conteos de los números, ya sea con marcas hecha en un tronco, nudos, piedras entre otras alternativas" origennum.blogspot.com/
La lógica y la matemática, por ocuparse de inventar entes formales y de establecer relaciones
entre ellos, se llaman a menudo ciencias formales, precisamente porque sus objetos no son
cosas ni procesos, sino, para emplear el lenguaje pictórico, formas en las que se puede verter
un surtido ilimitado de contenidos, tanto fácticos como empíricos. Esto es, podemos
establecer correspondencias entre esas formas (u objetos formales), por una parte, y cosas
y procesos pertenecientes a cualquier nivel de la realidad por la otra. Así es como la física,
la química, la fisiología, la psicología, la economía, y las demás ciencias recurren a la
matemática, empleándola como herramienta para realizar la más precisa reconstrucción de las
complejas relaciones que se encuentran entre los hechos y entre los diversos aspectos de los
hechos; dichas ciencias no identifican las formas ideales con los objetos concretos, sino que
interpretan las primeras en términos de hechos y de experiencias (o, lo que es equivalente,
formalizan enunciados fácticos).
Lo mismo vale para la lógica formal: algunas de sus partes —en particular, pero no
exclusivamente, la lógica proposicional bivalente— pueden hacerse corresponder a aquellas
entidades psíquicas que llamamos pensamientos. Semejante aplicación de las ciencias de la
forma pura a la inteligencia del mundo de los hechos, se efectúa asignando diferentes
interpretaciones a los objetos formales. Estas interpretaciones son, dentro de ciertos límites,
arbitrarias; vale decir, se justifican por el éxito, la conveniencia o la ignorancia. En otras
palabras el significado fáctico o empírico que se les asigna a los objetos formales no es una
propiedad intrínseca de los mismos. De esta manera, las ciencias formales jamás entran en
conflicto con la realidad. Esto explica la paradoja de que, siendo formales, se "aplican" a la
realidad: en rigor no se aplican, sino que se emplean en la vida cotidiana y en las ciencias
fácticas a condición de que se les superpongan reglas de correspondencia adecuada. En
suma, la lógica y la matemática establecen contacto con la realidad a través del puente del
lenguaje, tanto el ordinario como el científico.
Tenemos así una primera gran división de las ciencias, en formales (o ideales) y fácticas (o
materiales). Esta ramificación preliminar tiene en cuenta el objeto o tema de las respectivas
disciplinas; también da cuenta de la diferencia de especie entre los enunciados que se
proponen establecer las ciencias formales y las fácticas: mientras los enunciados formales
consisten en relaciones entre signos, los enunciados de las ciencias fácticas se refieren, en
su mayoría, a entes extracientíficos: a sucesos y procesos. Nuestra división también tiene en cuenta el método por el cual se ponen a prueba los enunciados verificables: mientras las
ciencias formales se contentan con la lógica para demostrar rigurosamente sus teoremas (los
que, sin embargo, pudieron haber sido adivinados por inducción común o de otras maneras),
las ciencias fácticas necesitan más que la lógica formal: para confirmar sus conjeturas
necesitan de la observación y/o experimento. En otras palabras, las ciencias fácticas tienen
que mirar las cosas, y, siempre que les sea posible, deben procurar cambiarlas
deliberadamente para intentar descubrir en qué medida sus hipótesis se adecuan a los
hechos.
Cuando se demuestra un teorema lógico o matemático no se recurre a la experiencia: el
conjunto de postulados, definiciones, reglas de formación de las expresiones dotadas de
significado, y reglas de inferencia deductiva —en suma, la base de la teoría dada—, es
necesaria y suficiente para ese propósito. La demostración de los teoremas no es sino una
deducción: es una operación confinada a la esfera teórica, aun cuando a veces los teoremas
mismos (no sus demostraciones) sean sugeridos en alguna esfera extramatemática y aun
cuando su prueba (pero no su primer descubrimiento) pueda realizarse con ayuda de
calculadoras electrónicas. Por ejemplo, cualquier demostración rigurosa del teorema de
Pitágoras prescinde de las mediciones, y emplea figuras sólo como ayuda psicológica al
proceso deductivo: que el teorema de Pitágoras haya sido el resultado de un largo proceso
de inducción conectado a operaciones prácticas de mediciones de tierras, es objeto de la
historia, la sociología y la psicología del conocimiento.
La matemática y la lógica son, en suma, ciencias deductivas. El proceso constructivo, en que
la experiencia desempeña un gran papel de sugerencias, se limita a la formación de los puntos
de partida (axiomas). En matemática la verdad consiste, por esto, en la coherencia del
enunciado dado con un sistema de ideas admitido previamente: por esto, la verdad
matemática no es absoluta sino relativa a ese sistema, en el sentido de que una proposición
que es válida en una teoría puede dejar de ser lógicamente verdadera en otra teoría. (Por
ejemplo, en el sistema de aritmética que empleamos para contar las horas del día, vale la
proposición de 24 + 1 = 1.) Más aún las teorías matemáticas abstractas, esto es, que contienen
términos no interpretados (signos a los que no se atribuye un significado fijo, y que por lo
tanto pueden adquirir distintos significados) pueden desarrollarse sin poner atención al
problema de la verdad.
Considérese el siguiente axioma de cierta teoría abstracta (no interpretada): "Existe por lo
menos un x tal que es F". Se puede dar un número ilimitado de interpretaciones (modelos) de
este axioma, dándose a x y F otros tantos significados. Si decimos que S designa punto,
obtenemos un modelo geométrico dado: si adoptamos la convención de que L designa
número, obtenemos un cierto modelo aritmético, y así sucesivamente. En cuanto "llenamos"
la forma vacía con un contenido específico (pero todavía matemático), obtenemos un sistema
de entes lógicos que tienen el privilegio de ser verdaderos o falsos dentro del sistema dado
de proposiciones: a partir de ahí tenemos que habérnoslas con el problema de la verdad. Cont
Mario Bunge
La ciencia, su método y su filosofía.
1960
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